什么是矩阵的秩，矩阵的秩如何计算？

矩阵的秩（Rank）是指矩阵中线性无关的行向量（或列向量）的最大数量，简单来说，矩阵的秩表示的是矩阵中可以生成整个矩阵的最小行或列的数目。

矩阵的秩的作用

判别线性相关性：秩可以帮助判断矩阵的行向量或列向量是否线性相关。如果矩阵的秩等于行数或列数，则矩阵的所有行（或列）线性无关，否则它们是线性相关的。

求解线性方程组：对于线性方程组Ax=bAx=bAx=b，矩阵的秩可以帮助判断该方程组是否有解。如果系数矩阵AAA的秩等于增广矩阵的秩且等于未知数的数量，那么方程组有唯一解。如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则方程组无解；如果等于但小于未知数的数量，则有无穷多解。

计算逆矩阵：如果一个矩阵的秩等于其行数（或列数），则称该矩阵为满秩矩阵。满秩方阵才可能存在逆矩阵。反之，若矩阵秩小于行数或列数，该矩阵为秩亏矩阵，无法求逆。

特征值分解与奇异值分解：秩在特征值分解和奇异值分解中也有重要应用。例如奇异值分解中，非零奇异值的数量就是矩阵的秩，这可以帮助我们降维或对矩阵进行逼近处理。

数据降维和信息压缩：在信号处理和机器学习中，通过秩可以判断数据的冗余度和可压缩性。低秩矩阵可以用更小的矩阵来逼近，进而实现数据压缩。

矩阵秩的性质

矩阵的秩具有一些重要的性质，这些性质在线性代数和应用数学中非常有用。以下是矩阵秩的主要性质：

1. 秩的定义等价性

行秩等于列秩：对于任意矩阵AAA，它的行秩等于列秩。因此，不论通过行还是列来计算矩阵的秩，结果都是相同的。

2. 秩与矩阵大小的关系

秩不大于矩阵的行数和列数：设AAA是m×nm\times nm×n的矩阵，则rank(A)≤min⁡(m,n)\text{rank}(A)\leq\min(m,n)rank(A)≤min(m,n)。换句话说，秩永远不会超过矩阵的行数或列数。

3. 满秩矩阵

满秩矩阵：若矩阵AAA的秩等于其行数（或列数），则称AAA是行满秩矩阵（或列满秩矩阵）。对于方阵，若秩等于行数或列数，则称该矩阵为满秩矩阵。满秩方阵一定是可逆的。

4. 秩的计算与初等变换

初等行变换与初等列变换不改变秩：对矩阵做初等行变换或列变换（例如行交换、行倍加或行倍乘）不会改变矩阵的秩。这一性质对化简矩阵计算秩非常有用。

5. 秩的子矩阵性质

子矩阵的秩小于等于原矩阵的秩：任意一个矩阵的子矩阵的秩不大于原矩阵的秩。块矩阵的秩上界：若矩阵AAA是块矩阵，其分块矩阵分别为A1,A2,A3,…A_1,A_2,A_3,\dotsA1​,A2​,A3​,…，则rank(A)≤rank(A1)+rank(A2)+…\text{rank}(A)\leq\text{rank}(A_1)+\text{rank}(A_2)+\dotsrank(A)≤rank(A1​)+rank(A2​)+…。

6. 秩的和与差

两个矩阵和的秩：对于两个相同大小的矩阵AAA和BBB，有rank(A+B)≤rank(A)+rank(B)\text{rank}(A+B)\leq\text{rank}(A)+\text{rank}(B)rank(A+B)≤rank(A)+rank(B)。两个矩阵乘积的秩：对于矩阵乘积ABABAB，有rank(AB)≤min⁡(rank(A),rank(B))\text{rank}(AB)\leq\min(\text{rank}(A),\text{rank}(B))rank(AB)≤min(rank(A),rank(B))。如果AAA和BBB的秩相等，则rank(AB)=rank(A)=rank(B)\text{rank}(AB)=\text{rank}(A)=\text{rank}(B)rank(AB)=rank(A)=rank(B)。

7. 可逆性与秩的关系

可逆矩阵的秩：若方阵AAA是n×nn\times nn×n的矩阵，且秩为nnn，则AAA可逆。反之，若AAA不可逆，则其秩小于nnn。

8. 零矩阵的秩

零矩阵的秩为零：如果AAA是一个零矩阵，则rank(A)=0\text{rank}(A)=0rank(A)=0，因为零矩阵中没有任何非零的线性无关行或列。

9. 秩与秩亏

秩亏矩阵：若矩阵AAA的秩小于其行数或列数，则称AAA是秩亏矩阵。秩亏矩阵通常是不可逆的。

这些性质在解线性方程组、求矩阵逆、计算特征值分解、奇异值分解等方面都有广泛应用，是理解矩阵结构和性质的重要基础。

示例矩阵

考虑矩阵AAA：

A=(123456789)

A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}

A=​147​258​369​​

1. 使用初等行变换计算矩阵的秩

为了计算矩阵的秩，我们通过初等行变换将矩阵化简为行阶梯形。这可以更清晰地看到哪些行是线性无关的，从而确定秩。

第一步：消去第一列的元素

我们可以用第一个元素111为主元，通过行变换消去第一列下面的元素。

用R2−4R1→R2R_2-4R_1\rightarrow R_2R2​−4R1​→R2​：

(1230−3−6789)

\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\7&8&9\end{pmatrix}

​107​2−38​3−69​​再用R3−7R1→R3R_3-7R_1\rightarrow R_3R3​−7R1​→R3​：

(1230−3−60−6−12)

\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&-6&-12\end{pmatrix}

​100​2−3−6​3−6−12​​

第二步：消去第二列的元素

现在我们以−3-3−3为主元来消去第三行的第二列元素。

用R3−2R2→R3R_3-2R_2\rightarrow R_3R3​−2R2​→R3​：

(1230−3−6000)

\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&0&0\end{pmatrix}

​100​2−30​3−60​​

现在矩阵已经是行阶梯形。可以看到，只有前两行是非零行，第三行全为零。矩阵AAA的行向量中有两个线性无关的行，因此矩阵的秩为2。

2. 使用秩来判断线性方程组的解

假设我们有方程组Ax=bAx=bAx=b，其中b=(123)b=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}b=​123​​。我们可以通过增广矩阵的秩来判断方程组是否有解。

构造增广矩阵

增广矩阵为：

(123∣1456∣2789∣3)

\begin{pmatrix}1&2&3&|&1\\4&5&6&|&2\\7&8&9&|&3\end{pmatrix}

​147​258​369​∣∣∣​123​​

对增广矩阵进行化简，同样使用初等行变换，我们可以得到：

(123∣10−3−6∣−2000∣0)

\begin{pmatrix}1&2&3&|&1\\0&-3&-6&|&-2\\0&0&0&|&0\end{pmatrix}

​100​2−30​3−60​∣∣∣​1−20​​

此时，增广矩阵的秩依然为2，与系数矩阵的秩相同且小于未知数的个数（3），因此该方程组有无穷多解。

3. 应用实例

由于矩阵AAA的秩为2，说明数据实际上只分布在二维空间上。无论在工程数据处理或信号压缩中，都可以利用这种低秩特性实现降维或数据压缩。例如，通过奇异值分解（SVD）保留主要的非零奇异值，可以用一个秩为2的矩阵来逼近原矩阵AAA，减少存储和计算成本。

MATLAB代码

在MATLAB中，可以使用以下代码来计算矩阵的秩：

% 定义矩阵A

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

% 计算矩阵A的秩

rank_A = rank(A);

% 显示结果

disp(['矩阵 A 的秩为: ', num2str(rank_A)]);

代码解释

rank(A) 是MATLAB中用于计算矩阵秩的函数，返回值即为矩阵的秩。disp 用于显示输出，方便查看计算结果。

在这个例子中，rank_A 将会是矩阵 A 的秩。运行代码后，您可以在命令窗口中查看输出结果。